Qu'est-ce que inégalité triangulaire ?

L'inégalité triangulaire est un principe fondamental en géométrie qui stipule que la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Mathématiquement, si nous avons un triangle avec des côtés de longueurs a, b, et c, alors les inégalités suivantes doivent être vraies :

• a ≤ b + c
• b ≤ a + c
• c ≤ a + b

De manière équivalente, la différence entre les longueurs de deux côtés est toujours inférieure ou égale à la longueur du troisième côté :

• |a - b| ≤ c
• |a - c| ≤ b
• |b - c| ≤ a

Implications et Applications :

• Géométrie : L'inégalité triangulaire est essentielle pour prouver de nombreux théorèmes en géométrie.
• Espaces métriques : L'inégalité triangulaire est l'une des propriétés fondamentales qui définissent un espace métrique. Voir Espaces%20métriques
• Analyse : Elle est utilisée dans l'analyse mathématique, en particulier pour prouver la convergence de suites et la continuité de fonctions.
• Distances : L'inégalité triangulaire garantit que le chemin le plus court entre deux points est une ligne droite.
• Nombres Complexes : L'inégalité triangulaire s'étend aux nombres complexes: |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|. Voir Nombres%20Complexes

Cas d'égalité :

L'égalité se produit dans l'inégalité triangulaire si et seulement si les trois points sont colinéaires, c'est-à-dire situés sur une même ligne droite, et qu'un point se trouve entre les deux autres. Dans ce cas, le triangle est dégénéré en un segment de droite.

Généralisation :

L'inégalité triangulaire peut être généralisée à des espaces vectoriels normés où la norme respecte l'inégalité triangulaire: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| pour tous vecteurs x et y. Voir Espaces%20Vectoriels.